ЭКСПРЕСС-ОЦЕНКА МОМЕНТА РАЗЛАДКИ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА ПО ПЕРВЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

ЭКСПРЕСС-ОЦЕНКА МОМЕНТА РАЗЛАДКИ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА ПО ПЕРВЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

Л.А.Мартыщенко, Л.А.Добрякова

Балтийский государственный технический университет “ВОЕНМЕХ” имени Д.Ф.Устинова

Abstract - The quick estimation tests moments of Gauss process by first observations were offered. The appropriate theorem was formulated and analytical dependencies for tests were received.

Идентификация нормального (гауссовского) процесса и экспресс-оценка момента его разладки по первым наблюдениям может быть сведена к процедуре проверки статистических гипотез. В соответствии с этим в тестах проверки небольших последовательностей случайных чисел на нормальность представляется целесообразным использовать непараметрические статистики.

Учитывая традиционную универсальность гауссовского распределения и полноту теоретических исследований, относящихся к нему, для проверки гипотезы о принадлежности короткой последовательности случайных чисел гауссову распределению введем в рассмотрение тест в виде следующей теоремы

Теорема. Если для последовательности независимых случайных чисел выполняется неравенство

(1)

то с доверительной вероятностью P_д=1- можно утверждать, что данная последовательность случайных чисел распределена по стандартному нормальному закону (m_x=0, ).

В зависимости (1) и - квантили функции распределения, плотность которой имеет вид

. (2)

Доказательство. Введем в рассмотрение статистику

(3)

где - выборочная энтропия для нормального распределения, а - выборочная дисперсия.

После преобразований выражение (3) примет вид

где L= - отношение квадрата последнего члена последовательности к сумме квадратов предыдущих членов.

Для удобства дальнейших рассуждений введем новые случайные величины y=x² и Принимая во внимание, что плотности распределений этих независимых величин могут быть представлены соответствующими зависимостями

без затруднений получим выражение для плотности распределения случайной величины L

Границы критической области могут быть определены численным методом из уравнений, результаты приведены в таблице 1,

(4)

(5)

Таблица 1.

Квантили распределения статистики l

n+1
n+1
2	0,0273	51,49
3	0,0108	5,39
4	0,0068	2,36
5	0,0048	1,47
6	0,0038	1,07
7	0,0031	0,85
8	0,0026	0,70
9	0,0023	0,60
10	0,0020	0,53
11	0,0018	0,47
12	0,0016	0,43
13	0,0015	0,39
14	0,0013	0,37
15	0,0012	0,34
16	0,0011	0,32

n+1

2	0,065	20,57
3	0,0251	3,07
4	0,0153	1,47
5	0,0109	0,95
6	0,0085	0,71
7	0,0070	0,56
8	0,0058	0,47
9	0,0051	0,41
10	0,0045	0,36
11	0,0040	0,32
12	0,0037	0,29
13	0,0034	0,27
14	0,0031	0,24
15	0,0028	0,23
16	0,0026	0,21
n+1
n+1
2	0,1153	10,79
3	0,0446	2,03
4	0,0278	1,03
5	0,0197	0,69
6	0,0155	0,52
7	0,0128	0,42
8	0,0106	0,35
9	0,0092	0,30
10	0,0082	0,26
11	0,0073	0,24
12	0,0067	0,21
13	0,0059	0,18
14	0,0055	0,17
15	0,0051	0,16
16	0,0048	0,15

или по зависимости

где - гипергеометрическая функция Гаусса.

При анализе разладки гауссовых процессов представляет интерес рассмотреть случай эволюции дисперсии процесса. С этой целью рассмотрим распределение отношения квадратов спейсингов.

Если математическое ожидание процесса остается постоянным, а изменятся лишь дисперсия процесса, то отношение квадратов двух спейсингов определяется следующим образом

где f₁(y)=- плотность распределения числителя,

- плотность распределения знаменателя.

Таким образом

Если ввести в рассмотрение параметр , характеризующий эволюцию дисперсии процесса, то

интегральная функция распределения определится следующим образом и

Литература

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. Т2. М., “Мир”, 1967

Мартыщенко Л.А.. Математические задачи теории малых выборок и их приложения к испытаниям сложных технических систем. Воениздат, 1975.

Site of Information Technologies
Designed by inftech@webservis.ru.